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Tema: Un sencillo problemas de matemáticas (Leído 224 veces)
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vigilant
Cumulus Mediocris
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Mensajes: 652
Os amo!
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Uno de los temas que más me gusta de cálculo es la suma de series.
No es preciso tener conocimientos altos de matemáticas para intentar solucionar el pequeño problema que os propongo. No hace falta porque yo ya no me acuerdo de ninguna formulita para sumar series geométricas ni aritméticas (aunque sí se como deducir esas formulitas   )
Ahora trataré sólo series aritméticas.
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Para quienes no sabéis cuales son las series aritméticas os pondré un ejemplo:
A = Serie = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}
Los componentes de una serie se suelen representar mediante el término an y ha de estar en función de n (que representa cualquier número entero)
En este caso, nuestra serie A se representa por:
A = {an } donde an = n
Pero an pude ser cualquier función lineal de n (es decir una recta tipo an = k·n- h)
[curiosidad, una serie geométria sería aquella en la que n está elevado a una potencia mayor que uno (¿si es menor es geométria también? No me acuerdo)]
Bueno, sigamos.
Una vez entendido el concepto de serie aritmética, veamos que es una suma de serie, Sn:
Sn = SUMATORIO_hasta_n (ak) = a0 + a1 + ... + an
¿De acuerdo?
Como ejemplo vamos a sumar nuestra serie A:
Por ejemplo hasta 100, y luego generalizamos
S100(A) = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100 =
= (1 + 2 + ... + 50) + ( 51 + 52 + ... + 100) =
= (1 + 2 + ... + 50) + ( 100 + 99 + ... + 51) =
= 1 + 2 + ... + 50
+ 100 + 99 + ... + 51
101+101 + ... + 101
= 50 · 101 = n/2 (n + 1)
Es decir, Sn(A) = n/2 (n + 1)
Pues también se puede hacer al contrario, es decir, conociendo Sn en función de n (en forma de polinomio) podemos encontrar la serie.
Muchas veces se emplea el desarrollo de Taylor y el de Furier (éste dado para un ángulo), pero lo que ocurre es que muchas veces surgen series geométricas (polinomios) Por lo que os invito a que no utilicéis ninguna tecnología matemática (taylor, etc.), sino simplemente vuestro coco.
Por ejemplo, el otro día yo buscaba cuál sería la serie que sumada da a2 ... y es muy fácil...
Yo lo hice de cabeza, pero ahora lo haré sistemáticamente, aprovechando el resultado anterior: Sabiendo que:
SUMA_hasta_n ( k ) = 1/2 (n2 + n)
2· SUMA_hasta_n ( k ) - n = n2
SUMA_hasta_n ( 2k - 1) = n2
Es decir, si Sn(A) = n2 --> ak = 2k - 1 Los números impares!!!
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Ahora os propongo el pequeño problema.
Encontrad las dos series de suma aritmética, en función de a y b ( es decir, Sx= f1(a,b) y Sy = f2(a,b) ), que sumadas dan el producto a·b.
Es decir Sx + Sy = a·b
Si os cuesta os daré una pista.
Alé, a entreteneros 
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Edu
Cumulonimbus Calvus
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Castelló (Plana Alta),167000 hab. 488mm&17.4ºC
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Uy señor espero no dar esto en la universidad  , yo aprendiendo a derivar y a integrar soy feliz, algun día lo conseguiré!!!!!!! Cmo voy a pasar a la uni sin saber hacerlo........ es solo un misterio XDDDDDDD
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vigilant
Cumulus Mediocris
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Mensajes: 652
Os amo!
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Sumad la serie infinita (a partir de 1) cuyo término k es ak =1/k2 (Para matemáticos y físicos esto está tirado )
ya no me acuerdo, puede ser q sea por el metodo de la integral? ese en q se hacia un limite de "b" cuando tiende a infinito la integral definida de 1 a "b" de la funcion? entonces seria uno, si no he contado mal.
judé, jeje, justamente has elegido el problema más difícil de hacer , ... anda, elije los otros dos!
jeje, ahora en serio. Creo que tu te refieres a los criterios de convergencia. Estos criterios no sirven para sumar series, sólo para saber si tienen suma de todos modos, para saber si converge la suma (o no) de ese tipo de series, simplemente hay que comparar con la serie harmónica simple 1/k (que no converge). Es decir la suma de los términos 1/ka converge siempre que a > 1
Bueno pues, resulta que 1/k2 converge. Pero para sumar esta serie se necesita hacer el desarrollo de Furier de la función inversa entre el intervalo (- pi, pi)
Si queréis os digo el resultado y/o como se hace.
Bueno, pero os aconsejaría que hicieseis primero los otros dos .
De todos modos gracias por tu interés 
Saluts!
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Sobrestany
Visitante
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Sumad la serie infinita (a partir de 1) cuyo término k es ak =1/2k (Esta no es una suma aritmética, pero es muy sencilla)
Nadie se anima a hacer este problemilla  Es muy sencillito. Se puede hacer de cabeza Venga animaros! Por cierto, la había escrito mal  no era 1/2k sino 1/2 kEs decir, hay que sumar esto: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ... Venga, que es muy fácil!!! Saluts!
n=1; 1/2
n=2; 1/2 + 1/4 = 3 * 1/4
n=3; 1/2 + 1/4 + 1/8 = 7 * (1/8)
n=4; 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 15 * (1/16)
n=n; (2n - 1) * (1/2n) = 1 - (1/ 2n)
n=infinito; 1
¿He aprobado pofesor?
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